已知向量m=(sinA,12)与n=(3,sinA+3cosA)共线,其中A是△ABC的内角.(1)求角A的大小;(2)若cosB=45,a=3,求△ABC面积.-数学

题目简介

已知向量m=(sinA,12)与n=(3,sinA+3cosA)共线,其中A是△ABC的内角.(1)求角A的大小;(2)若cosB=45,a=3,求△ABC面积.-数学

题目详情

已知向量
m
=(sinA,
1
2
)
n
=(3,sinA+
3
cosA)
共线,其中A是△ABC的内角.
(1)求角A的大小; 
(2)若cosB=
4
5
a=
3
,求△ABC面积.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)因为
m
n
,所以sinA•(sinA+
3
cosA)-class="stub"3
2
=0;
所以class="stub"1-cos2A
2
+
3
2
sin2A=0

整理得
3
2
sin2A-class="stub"1
2
cos2A=1,
即sin(2A-class="stub"π
6
)=1.
因为A∈(0,π),所以2A-class="stub"π
6
∈(-class="stub"π
6
class="stub"11π
6
).
故2A-class="stub"π
6
=class="stub"π
2
,A=class="stub"π
3

(2)由正弦定理,得出b=class="stub"a
sinA
sinB
=
3
3
2
×class="stub"3
5
=class="stub"6
5

又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=
3
2
×class="stub"4
5
+class="stub"1
2
×class="stub"3
5
=
3+4
3
10

所以S△ABC=class="stub"1
2
absinC
=class="stub"1
2
×
3
×class="stub"6
5
×
3+4
3
10
=
36+9
3
50

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