设函数f(x)=m•n,其中向量m=(2cosx,1),n=(cosx,3sin2x),x∈R.(1)求f(x)的最小正周期与单调递减区间;(2)在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,已知

题目简介

设函数f(x)=m•n,其中向量m=(2cosx,1),n=(cosx,3sin2x),x∈R.(1)求f(x)的最小正周期与单调递减区间;(2)在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,已知

题目详情

设函数f(x)=
m
n
,其中向量
m
=(2cosx,1),
n
=(cosx,   
3
sin2x),x∈R

(1)求f(x)的最小正周期与单调递减区间;
(2)在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,已知f(A)=2,b=1,△ABC的面积为
3
2
,求
b+c
sinB+sinC
的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)f(x)=
m
n
=2cos2x+
3
sin2x=
3
sin2x+cos2x+1=2sin(2x+class="stub"π
6
)+1

函数f(x)的最小正周期T=class="stub"2π
2
.---------------(2分)
class="stub"π
2
+2kπ≤2x+class="stub"π
6
≤class="stub"3π
2
+2kπ,k∈Z,解得class="stub"π
6
+kπ≤x≤class="stub"2π
3
+kπ
.∴函数f(x)的单调递减区间是[class="stub"π
6
+kπ,class="stub"2π
3
+kπ],k∈Z
.--------------(4分)
(2)由f(A)=2,得2sin(2A+class="stub"π
6
)+1=2
即sin(2A+class="stub"π
6
)=class="stub"1
2
,在△ABC中
,∵0<A<π,
class="stub"π
6
<2A+class="stub"π
6
<class="stub"π
6
+2π
.∴2A+class="stub"π
6
=class="stub"5π
6
,解得A=class="stub"π
3
.-(6分)又∵S△ABC=class="stub"1
2
bcsinA=class="stub"1
2
×1×c×
3
2
=
3
2
,解得c=2

∴在△ABC中,由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA=3,∴a=
3
.---------8
class="stub"b
sinB
=class="stub"c
sinC
=class="stub"a
sinA
=
3
3
2
,得b=2sinB,c=2sinC
,∴class="stub"b+c
sinB+sinC
=2
.--(10分)

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