已知函数f(x)=2cos2(x-π6)+2sin(x-π4)cos(x-π4)-1.(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)求函数f(x)在区间[-π12,π2]上的值域.-数学

题目简介

已知函数f(x)=2cos2(x-π6)+2sin(x-π4)cos(x-π4)-1.(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)求函数f(x)在区间[-π12,π2]上的值域.-数学

题目详情

已知函数f(x)=2cos2(x-
π
6
)+2sin(x-
π
4
)cos(x-
π
4
)-1

(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;
(2)求函数f(x)在区间[-
π
12
π
2
]
上的值域.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵f(x)=2cos2(x-class="stub"π
6
)+2sin(x-class="stub"π
4
)cos(x-class="stub"π
4
)-1

=cos(2x-class="stub"π
3
)+2sin(x-class="stub"π
4
)cos(x-class="stub"π
4
)

=class="stub"1
2
cos2x+
3
2
sin2x+sin(2x-class="stub"π
2
)

=class="stub"1
2
cos2x+
3
2
sin2x-cos2x

=sin(2x-class="stub"π
6
)
…(5分)
∴周期 T=class="stub"2π
2
.由2x-class="stub"π
6
=kπ+class="stub"π
2
,得 x=class="stub"kπ
2
+class="stub"π
3
(k∈Z)
∴函数图象的对称轴方程为x=class="stub"kπ
2
+class="stub"π
3
(k∈Z)…(7分)
(2)∵x∈[-class="stub"π
12
,class="stub"π
2
]
,∴2x-class="stub"π
6
∈[-class="stub"π
3
,class="stub"5π
6
]

又∵f(x)=sin(2x-class="stub"π
6
)
在区间[-class="stub"π
12
,class="stub"π
3
]
上单调递增,
在区间[class="stub"π
3
,class="stub"π
2
]
上单调递减,∴当x=class="stub"π
3
时,f(x)取最大值1.
又∵f(-class="stub"π
12
)=-
3
2
<f(class="stub"π
2
)=1
,∴当x=-class="stub"π
12
时,f(x)取最小值-
3
2

∴函数f(x)在区间[-class="stub"π
12
,class="stub"π
2
]
上的值域为[-
3
2
,1]
.…(12分)

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