首页 > 已知函数f(x)=2asinωxcosωx+23cos2ωx-3(a＞0，ω＞0)的最大值为2，x1，x2是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，且|x1-x2|的最小值为π2．（I）求a

已知函数f(x)=2asinωxcosωx+23cos2ωx-3(a＞0，ω＞0)的最大值为2，x1，x2是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，且|x1-x2|的最小值为π2．（I）求a

题目简介

已知函数f(x)=2asinωxcosωx+23cos2ωx-3(a＞0，ω＞0)的最大值为2，x1，x2是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，且|x1-x2|的最小值为π2．（I）求a

题目详情

已知函数f(x)=2asinωxcosωx+2
3
cos2ωx-
3
(a＞0，ω＞0)的最大值为2，x1，x2是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，且|x1-x2|的最小值为
π
2
．
（I）求a，ω的值；
（II）若f（a）=
2
3
，求sin(
5π
6
-4α)的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）∵函数 f(x)=2asinωxcosωx+2
3
cos2ωx-
3
=asin2ωx+
3
cos2ωx=asin（2ωx+class="stub"π
3
）．
由题意可得，函数的最小正周期为class="stub"2π
2ω
=π，∴ω=1．
再由a＞0且函数的最大值为2可得 a=1，故 f（x）=2sin（2x+class="stub"π
3
）．
（II）若f（a）=class="stub"2
3
，则2sin（2α+class="stub"π
3
）=class="stub"2
3
，sin（2α+class="stub"π
3
）=class="stub"1
3
，
∴sin(class="stub"5π
6
-4α)=sin[class="stub"3π
2
-（4α+class="stub"2π
3
）]=-cos（4α+class="stub"2π
3
）=-1+2sin2(2α+class="stub"π
3
)=-1+2×class="stub"1
9
=-class="stub"7
9
．

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