已知函数f(x)=32sin2x-cos2x-12,x∈R.(Ⅰ)求函数f(x)的单调递减区间;(Ⅱ)设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中c=23,f(C)=0,若向量m=(si

题目简介

已知函数f(x)=32sin2x-cos2x-12,x∈R.(Ⅰ)求函数f(x)的单调递减区间;(Ⅱ)设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中c=23,f(C)=0,若向量m=(si

题目详情

已知函数f(x)=
3
2
sin2x-cos2x-
1
2
,x∈R.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中c=2
3
,f(C)=0,若向量
m
=(sinB,2)与向量
n
=(1,-sinA)垂直,求a,b的值.
题型:解答题难度:中档来源:滨州一模

答案

(Ⅰ)f(x)=
3
2
sin2x-class="stub"1
2
(1+cos2x)-class="stub"1
2
=
3
2
sin2x-class="stub"1
2
cos2x-1
=sin2xcosclass="stub"π
6
-cos2xsinclass="stub"π
6
-1=sin(2x-class="stub"π
6
)-1,…(4分)
令2kπ+class="stub"π
2
≤2x-class="stub"π
6
≤2kπ+class="stub"3π
2
,得kπ+class="stub"π
3
≤x≤kπ+class="stub"5π
6
(k∈Z)
∴函数f(x)的单调递减区间为[kπ+class="stub"π
3
,kπ+class="stub"5π
6
](k∈Z)…(6分)
(Ⅱ)因为f(C)=sin(2C-class="stub"π
6
)-1=0,所以sin(2C-class="stub"π
6
)=1
又∵-class="stub"π
6
<2C-class="stub"π
6
class="stub"11π
6
,∴2C-class="stub"π
6
=class="stub"π
2
,解之得C=class="stub"π
3
…(8分)
∵向量
m
=(sinB,2)与向量
n
=(1,-sinA)垂直,
∴sinB-2sinA=0,即sinB=2sinA…(9分)
根据正弦定理得b=2a,再由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,
得12=a2+4a2-4a2cosclass="stub"π
3
=3a2…(11分)
解之得a=2,所以b=2a=4.…(12分)

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