首页 > 已知函数f(x)=sin2ωx+3sinωxsin(ωx+π2)+1（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移π6个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求g（x

已知函数f(x)=sin2ωx+3sinωxsin(ωx+π2)+1（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移π6个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求g（x

题目简介

已知函数f(x)=sin2ωx+3sinωxsin(ωx+π2)+1（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移π6个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求g（x

题目详情

已知函数f(x)=sin2ωx+
3
sinωxsin(ωx+
π
2
)+1（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移
π
6
个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）求函数f（x）在区间[0，
2π
3
]上的最值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

f(x)=sin2ωx+
3
sinωxsin(ωx+class="stub"π
2
)+1
=class="stub"1-cos2ωx
2
+ 
3
sinωxcosωx+1
=class="stub"3
2
-class="stub"1
2
cos2ωx+
3
2
sin2ωx
=class="stub"3
2
+sin(2ωx-class="stub"π
6
)
（I）由周期公式可得，T=class="stub"2π
2ω
=π
∴ω=1，f（x）=class="stub"3
2
+sin(2x-class="stub"π
6
)
（II）由题意可得，g（x）=f（x+class="stub"π
6
）=class="stub"3
2
+sin[2（x+class="stub"π
6
）-class="stub"π
6
]
=class="stub"3
2
+sin(2x+class="stub"π
6
)
令class="stub"1
2
π+2kπ≤2x+class="stub"π
6
≤class="stub"3π
2
+2kπ，k∈Z
可得，class="stub"π
6
+kπ≤x≤class="stub"2π
3
+kπk∈Z
函数g（x）的单独递减区间为[class="stub"π
6
+kπ，class="stub"2π
3
+kπ]，k∈Z
（III）由x∈[0，class="stub"2π
3
]可得，-class="stub"π
6
≤2x-class="stub"π
6
≤class="stub"7π
6

∴-class="stub"1
2
≤sin(2x-class="stub"π
6
)≤1
∴1≤f(x)≤class="stub"5
2

故f(x) max=class="stub"5
2
，f（x）min=1

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