在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=23,sinB=5cosC.(1)求tanC的值;(2)若a=2,求△ABC的面积.-数学

题目简介

在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=23,sinB=5cosC.(1)求tanC的值;(2)若a=2,求△ABC的面积.-数学

题目详情

在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=
2
3
,sinB=
5
cos
C.
(1)求tanC的值;
(2)若a=
2
,求△ABC的面积.
题型:解答题难度:中档来源:浙江

答案

(1)∵A为三角形的内角,cosA=class="stub"2
3

∴sinA=
1-cos2A
=
5
3

5
cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=
5
3
cosC+class="stub"2
3
sinC,
整理得:
2
5
3
cosC=class="stub"2
3
sinC,
则tanC=
5

(2)由tanC=
5
得:cosC=
class="stub"1
sec2C
=
class="stub"1
1+tan2C
 
=
class="stub"1
1+5
=
6
6

∴sinC=
1-cos2C
=
30
6

∴sinB=
5
cosC=
30
6

∵a=
2
,∴由正弦定理class="stub"a
sinA
=class="stub"c
sinC
得:c=class="stub"asinC
sinA
=
2
×
30
6
5
3
=
3

则S△ABC=class="stub"1
2
acsinB=class="stub"1
2
×
2
×
3
×
30
6
=
5
2

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