在△ABC中,a2+b2+c2=23absinC,则△ABC的形状是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.正三角形-数学

题目简介

在△ABC中,a2+b2+c2=23absinC,则△ABC的形状是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.正三角形-数学

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在△ABC中,a2+b2+c2=2
3
absinC
,则△ABC的形状是(  )
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.正三角形
题型:单选题难度:中档来源:辽宁一模

答案

由余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC,
又∵a2+b2+c2=2
3
absinC

将上两式相加得a2+b2=ab(cosC+
3
sinC)

化为cos(C-class="stub"π
3
)
=
a2+b2
2ab
≥class="stub"2ab
2ab
=1
,当且仅当a=b时取等号.
cos(C-class="stub"π
3
)=1

∵C∈(0,π),∴(C-class="stub"π
3
)∈(-class="stub"π
3
,class="stub"2π
3
)

C-class="stub"π
3
=0,解得C=class="stub"π
3
,又a=b,
∴△ABC是正三角形.
故选D.

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