已知sinα,cosα是方程25x2-5(2t+1)x+t2+t=0的两根,且α为锐角.(1)求t的值;(2)求以1sinα,1cosα为两根的一元二次方程.-数学

题目简介

已知sinα,cosα是方程25x2-5(2t+1)x+t2+t=0的两根,且α为锐角.(1)求t的值;(2)求以1sinα,1cosα为两根的一元二次方程.-数学

题目详情

已知sinα,cosα是方程25x2-5(2t+1)x+t2+t=0的两根,且α为锐角.
(1)求t的值;
(2)求以
1
sinα
 , 
1
cosα
为两根的一元二次方程.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵sinα,cosα是方程25x2-5(2t+1)x+t2+t=0的两根,
∴sinα+cosα=class="stub"2t+1
10
,sinα•cosα=
t2+t
50

∴sin2α+cos2α=(sinα+cosα)2-2•sinα•cosα=(class="stub"2t+1
10
)2-2•
t2+t
50
=1
解得t=3,t=-4
又∵α为锐角
∴t>0,故t=-4(舍去)
∴t=3,
(2)由(1)可得sinα+cosα=class="stub"2t+1
10
=class="stub"7
10
,sinα•cosα=
t2+t
50
=class="stub"6
25

设以class="stub"1
sinα
 , class="stub"1
cosα
为两根的一元二次方程为y2+by+c=0
则-b=class="stub"1
sinα
+class="stub"1
cosα
=class="stub"sinα+cosα
sinα•cosα
=
class="stub"7
10
class="stub"6
25
=class="stub"35
12

∴b=-class="stub"35
12

C=class="stub"1
sinα
•class="stub"1
cosα
=class="stub"1
sinα•cosα
=class="stub"25
6

∴以class="stub"1
sinα
 , class="stub"1
cosα
为两根的一元二次方程y2-class="stub"35
12
y+class="stub"25
6
=0

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