首页 > 设函数f(x)=a•b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx，3sin2x+m)．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间．（Ⅱ）当x∈[0，π6]时，-4＜f（x）＜

设函数f(x)=a•b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx，3sin2x+m)．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间．（Ⅱ）当x∈[0，π6]时，-4＜f（x）＜

题目简介

设函数f(x)=a•b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx，3sin2x+m)．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间．（Ⅱ）当x∈[0，π6]时，-4＜f（x）＜

题目详情

设函数f(x)=
a
•
b
，其中向量
a
=(2cosx，1)，
b
=(cosx，
3
sin2x+m)．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间．
（Ⅱ）当x∈[0，
π
6
]时，-4＜f（x）＜4恒成立，求实数m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）函数f(x)=
a
•
b
=2cos2x+
3
sin2x+m=cos2x+
3
sin2x+m+1=2sin（2x+class="stub"π
6
）+m+1．
故函数f（x）的最小正周期为class="stub"2π
2
=π．
令 2kπ-class="stub"π
2
≤2x+class="stub"π
6
≤2kπ+class="stub"π
2
，k∈z，可得 kπ-class="stub"π
3
≤x≤kπ+class="stub"π
6
，k∈z，故增区间为[kπ-class="stub"π
3
，kπ+class="stub"π
6
]，k∈z．
故在[0，π]上的单调递增区间为[0，class="stub"π
6
]、[class="stub"2π
3
，π]．
（Ⅱ）当x∈[0，class="stub"π
6
]时，class="stub"π
6
≤2x+class="stub"π
6
≤class="stub"π
2
，故有 class="stub"1
2
≤sin（2x+class="stub"π
6
）≤1，故 m+2≤f（x）≤m+3．
再由-4＜f（x）＜4恒成立，可得  m+2＞-4且 m+3＜4，解得-6＜m＜1，
故实数m的取值范围为（-6，1）．

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