已知函数f(x)=3sin(2x-π6)+2sin2(x-π12).①求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;②若x∈[π4,π2],求函数f(x)的最大值及取最大值时对应的x值.-数学

题目简介

已知函数f(x)=3sin(2x-π6)+2sin2(x-π12).①求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;②若x∈[π4,π2],求函数f(x)的最大值及取最大值时对应的x值.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
3
sin(2x-
π
6
)+2sin2(x-
π
12
)

①求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
②若x∈[
π
4
π
2
]
,求函数f(x)的最大值及取最大值时对应的x值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

①函数f(x)=
3
sin(2x-class="stub"π
6
)+2sin2(x-class="stub"π
12
)
=
3
sin(2x-class="stub"π
6
)+2
1-cos(2x-class="stub"π
6
)
2

=
3
sin(2x-class="stub"π
6
)-cos(2x-class="stub"π
6
)+1=2sin(2x-class="stub"π
3
)+1,∴T=class="stub"2π
2
=π.
由  2kπ-class="stub"π
2
≤2x-class="stub"π
3
≤2kπ+class="stub"π
2
 可得   kπ-class="stub"π
12
≤x≤kπ+class="stub"5π
12
,故函数f(x)的单调递增区间为
[kπ-class="stub"π
12
,kπ+class="stub"5π
12
],k∈z.
②由class="stub"π
4
≤x≤class="stub"π
2
 得,class="stub"π
6
≤2x-class="stub"π
3
≤class="stub"2π
3
,故当2x-class="stub"π
3
=class="stub"π
2
,即x=class="stub"5
12
π
时,
f(x)max=31.

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