首页 > 已知△ABC三个内角A、B、C的对边为a、b、c，m=(a，cosB)，n=(cosA，-b)，a≠b，已知m⊥n．（1）判断三角形的形状，并说明理由．（2）若y=sinA+sinBsinAsinB，

已知△ABC三个内角A、B、C的对边为a、b、c，m=(a，cosB)，n=(cosA，-b)，a≠b，已知m⊥n．（1）判断三角形的形状，并说明理由．（2）若y=sinA+sinBsinAsinB，

题目简介

已知△ABC三个内角A、B、C的对边为a、b、c，m=(a，cosB)，n=(cosA，-b)，a≠b，已知m⊥n．（1）判断三角形的形状，并说明理由．（2）若y=sinA+sinBsinAsinB，

题目详情

已知△ABC三个内角A、B、C的对边为a、b、c，
m
=(a，cosB)，
n
=(cosA，-b)，a≠b，已知
m
⊥
n
．
（1）判断三角形的形状，并说明理由．
（2）若y=
sinA+sinB
sinAsinB
，试确定实数y的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵
m
⊥
n
，∴
m
•
n
=0，∴acosA-bcosB=0．（2分）
由正弦定理知，class="stub"a
sinA
=class="stub"b
sinB
=2R=1，∴a=sinA，b=sinB．
∴sinAcosA-sinBcosB=0，∴sin2A=sin2B．（4分）
∵A，B∈（0，π），∴2A=2B或2A+2B=π．（5分）
∴A=B（舍去），故 A+B=class="stub"π
2
．
所以三角形ABC是直角三角形．（6分）
（2）∵sinB=cosA，∴y=class="stub"sinA+cosA
sinAcosA
．（7分）
∵sinA+cosA=
2
sin(A+class="stub"π
4
)，A∈(0，class="stub"π
2
)，∴A+class="stub"π
4
∈(class="stub"π
4
，class="stub"3π
4
)．
∴sin(A+class="stub"π
4
)∈(
2
2
，1]，∴sinA+cosA∈(1，
2
]．（9分）
令 sinA+cosA=t∈(1，
2
]，则 sinAcosA=
t2-1
2
，（11分）
∴y=class="stub"2t
t2-1
=class="stub"2
t-class="stub"1
t
．（12分）
∵t-class="stub"1
t
在(1，
2
]单调递增，∴0＜t-class="stub"1
t
≤
2
-class="stub"1
2
=
2
2
，
∴y≥2
2
，
又a≠b，故等号不成立
所以y的取值范围为(2
2
，+∞)．（14分）

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