求下列函数的值域:f(x)=2cos2x+3sinx+3x∈[π6,2π3].-数学

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求下列函数的值域:f(x)=2cos2x+3sinx+3x∈[π6,2π3].-数学

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求下列函数的值域:f(x)=2cos2x+3sinx+3   x∈[
π
6
3
]
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

f(x)=2cos2x+3sinx+3
=2(1-sin2x)+3sinx+3
=-2sin2x+3sinx+5
=-2(sinx-class="stub"3
4
)2+class="stub"49
8

∵x∈[class="stub"π
6
class="stub"2π
3
],∴sinx∈[class="stub"1
2
 , 1]

∴当sinx=class="stub"3
4
时,f(x)最大,最大值为f(class="stub"3
4
)=class="stub"49
8

当sinx=class="stub"1
2
或1时,f(x)最小,最小值为f(1)=6,
则函数f(x)的值域是[6 , class="stub"49
8
]

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