首页 > 已知函数y=f（x），x∈D，y∈A；g（x）=x2-（47tanθ）x+1，（1）当f（x）=sin（x+φ）为偶函数时，求φ的值．（2）当f（x）=sin（2x+π6）+3sin（2x+π3）时，

已知函数y=f（x），x∈D，y∈A；g（x）=x2-（47tanθ）x+1，（1）当f（x）=sin（x+φ）为偶函数时，求φ的值．（2）当f（x）=sin（2x+π6）+3sin（2x+π3）时，

题目简介

已知函数y=f（x），x∈D，y∈A；g（x）=x2-（47tanθ）x+1，（1）当f（x）=sin（x+φ）为偶函数时，求φ的值．（2）当f（x）=sin（2x+π6）+3sin（2x+π3）时，

题目详情

已知函数y=f（x），x∈D，y∈A；g（x）=x2-（4
7
tanθ）x+1，
（1）当f（x）=sin（x+φ）为偶函数时，求φ的值．
（2）当f（x）=sin（2x+
π
6
）+
3
sin（2x+
π
3
）时，g（x）在A上是单调递增函数，求θ的取值范围．
（3）当f（x）=a1sin（ωx+φ1）+a2sin（ωx+φ2）+…+ansin（ωx+φn）时，（其中ai∈R，i=1，2，3…n，ω＞0），若f2（0）+f2（
π
2ω
）≠0，且函数f（x）的图象关于点（
π
2
，0）对称，在x=π处取得最小值，试探讨ω应该满足的条件．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）因为函数f（x）=sin（x+φ）为偶函数，所以，sin（x+φ）=sin（-x+φ），
化简为 2sinxcosφ=0，∴cosφ=0，所以φ=kπ+class="stub"π
2
，k∈z．
（2）∵函数f（x）=sin（2x+class="stub"π
6
）+
3
sin（2x+class="stub"π
3
）=
3
sin2x+2cos2x=
7
sin（2x+α）∈[-
7
，
7
]，
其中，sinα=class="stub"2
7
，cosα=
3
7
，所以 A=[-
7
，
7
]…（8分）
g（x）=x2-（4
7
tanθ）x+1=(x-2
7
tanθ)2+1-28tan2θ，
由题意可知：2
7
tanθ≤-
7
，tanθ≤-class="stub"1
2
，∴kπ-class="stub"π
2
≤θ≤kπ-arctanclass="stub"1
2
，k∈z，
即θ的取值范围是[kπ-class="stub"π
2
，kπ-arctanclass="stub"1
2
]，k∈z．（10）
（3）由于 f（x）=a1sin（ωx+φ1）+a2sin（ωx+φ2）+…+ansin（ωx+φn）
=a1 （sinωxcosφ1 +cosωxsinφ1）+a2 （sinωxcosφ2 +cosωxsinφ2）+…+an （sinωxcosφn+cosωxsinφn ）
=sinωx （a1•cosφ1+a2•cosφ2+…+an•cosφn）
+cosωx（a1•sinφ1+a2•sinφ2+…+an•sinφn）．
∵f2（0）+f2（class="stub"π
2ω
）≠0，∴a1•cosφ1+a2•cosφ2+…+an•cosφn =0
与a1•sinφ1+a2•sinφ2+…+an•sinφn =0 不能同时成立．
不妨设 a1•cosφ1+a2•cosφ2+…+an•cosφn =m，a1•sinφ1+a2•sinφ2+…+an•sinφn =n，
则f（x）=msinωx+ncosωx=
m2+n2
=sin（ωx+φ），且 m2+n2≠0．
由于函数f（x）的图象关于点（class="stub"π
2
，0）对称，在x=π处取得最小值，∴（4n-3）class="stub"T
4
=π-class="stub"π
2
，n∈N*．
（4n-3）class="stub"π
2ω
=class="stub"π
2
，∴ω=4n-3，n∈N*  ①．
再由函数f（x）的图象关于点（class="stub"π
2
，0）对称可得 sin（class="stub"π
2
ω+φ0）=0，故class="stub"π
2
ω+φ0=kπ，k∈z．
∴class="stub"π
2
（4m-3）+φ0=kπ，φ0=kπ+class="stub"3π
2
，k∈z．
又函数f（x）在x=π处取得最小值，∴sin（ωπ+φ0）=-1，∴ωπ+kπ+class="stub"3π
2
=2k′π+class="stub"3π
2
，k′∈z．
∴ω=k，k∈N* ②．
由①②可得，ω=4n-3，n∈N*．

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