设复数z=3cosθ+isinθ.求函数y=tg(θ-argz)(0<θ<π2)的最大值以及对应的θ值.-数学

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设复数z=3cosθ+isinθ.求函数y=tg(θ-argz)(0<θ<π2)的最大值以及对应的θ值.-数学

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设复数z=3cosθ+isinθ.求函数y=tg(θ-argz)(0<θ<
π
2
)的最大值以及对应的θ值.
题型:解答题难度:中档来源:广东

答案

0<θ<class="stub"π
2
得tgθ>0.
由z=3cosθ+isinθ得tg(argz)=class="stub"sinθ
3cosθ
=class="stub"1
3
tgθ
.(3分)
故y=tg(θ-argz)=
tgθ-class="stub"1
3
tgθ
1+class="stub"1
3
tg2θ
(6分)=class="stub"2
class="stub"3
tgθ
+tgθ

class="stub"3
tgθ
+tgθ≥2
3

class="stub"2
class="stub"3
tgθ
+tgθ
3
3
.(9分)
当且仅当class="stub"3
tgθ
=tgθ(0<θ<class="stub"π
2
)时,即tgθ=
3
时,上式取等号.
所以当θ=class="stub"π
3
时,函数y取得最大值
3
3
.(12分)

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