已知函数f(x)=23sinx3cosx3-2sin2x3.(Ⅰ)若x∈[0,π],求函数f(x)的值域;(Ⅱ)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若f(C)=1,且b2=ac,求si

题目简介

已知函数f(x)=23sinx3cosx3-2sin2x3.(Ⅰ)若x∈[0,π],求函数f(x)的值域;(Ⅱ)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若f(C)=1,且b2=ac,求si

题目详情

已知函数f(x)=2
3
sin
x
3
cos
x
3
-2sin2
x
3

(Ⅰ)若x∈[0,π],求函数f(x)的值域;
(Ⅱ)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若f(C)=1,且b2=ac,求sinA的值.
题型:解答题难度:中档来源:江西模拟

答案

(Ⅰ)f(x)=2
3
sinclass="stub"x
3
cosclass="stub"x
3
-2sin2class="stub"x
3

=
3
sinclass="stub"2x
3
+cosclass="stub"2x
3
-1=2sin(class="stub"2x
3
+class="stub"π
6
)-1
.…(3分)
∵x∈[0,π],
class="stub"π
6
≤class="stub"2x
3
+class="stub"π
6
≤class="stub"5π
6

class="stub"1
2
≤sin(class="stub"2x
3
+class="stub"π
6
)≤1

∴f(x)的值域为[0,1].…(4分)
(Ⅱ)∵f(C)=2sin(class="stub"2C
3
+class="stub"π
6
)-1=1

sin(class="stub"2C
3
+class="stub"π
6
)=1

而C∈(0,π),
C=class="stub"π
2
.…(2分)
在Rt△ABC中,∵b2=ac,c2=a2+b2,
c2=a2+ac⇒(class="stub"a
c
)
2
+class="stub"a
c
-1=0

解得class="stub"a
c
=
-1±
5
2

∴0<sinA<1,
sinA=class="stub"a
c
=
5
-1
2
.…(3分)

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