首页 > 设函数f（x）=Asin（ωx+φ）其中A＞0，ω＞0，-π＜φ≤π）在x=π6处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为π2．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=6cos4x-s

设函数f（x）=Asin（ωx+φ）其中A＞0，ω＞0，-π＜φ≤π）在x=π6处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为π2．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=6cos4x-s

题目简介

设函数f（x）=Asin（ωx+φ）其中A＞0，ω＞0，-π＜φ≤π）在x=π6处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为π2．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=6cos4x-s

题目详情

设函数f（x）=Asin（ωx+φ）其中A＞0，ω＞0，-π＜φ≤π）在x=
π
6
处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为
π
2
．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）=
6cos4x-sin2x-1
f(x+
π
6
)
的值域．
题型：解答题难度：中档来源：重庆

答案

（Ⅰ）由题意可知f（x）的周期为T=π，即class="stub"2π
ω
=π，解得ω=2．
因此f（x）在x=class="stub"π
6
处取得最大值2，所以A=2，从而sin（2×class="stub"π
6
+φ）=1，
所以class="stub"π
3
+φ=class="stub"π
2
+2kπ  ，k∈z，又-π＜φ≤π，得φ=class="stub"π
6
，
故f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+class="stub"π
6
）；
（Ⅱ）函数g（x）=
6cos4x-sin2x-1
f(x+class="stub"π
6
)

=
6cos4x-sin2x-1
2sin(2x+class="stub"π
2
)

=
6cos4x-sin2x-1
2cos2x

=
6cos4x-sin2x-1
2(2cos2x -1)

=
6cos4x+cos2x-2
2(2cos2x -1)

=
(3cos2x+2)(2cos2x-1)
2(2cos2x -1)

=class="stub"3
2
cos2x+1  (cos2x≠class="stub"1
2
)
因为cos2x∈[0，1]，且cos2x≠class="stub"1
2
，
故g（x）的值域为[1，class="stub"7
4
)∪(class="stub"7
4
，class="stub"5
2
]．

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