设函数f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值;(2)当x∈[0,π6]时,求f(x)的最值.(3)若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)

题目简介

设函数f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值;(2)当x∈[0,π6]时,求f(x)的最值.(3)若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)

题目详情

设函数f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为
3

(1)求ω的值;
(2)当x∈[0,
π
6
]
时,求f(x)的最值.
(3)若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移
π
2
个单位长度得到,求y=g(x)的单调增区间.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)因为函数f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx
=
2
sin(2ωx+class="stub"π
4
)+2

它的最小正周期为class="stub"2π
3

2ω=class="stub"2π
class="stub"2π
3
=3

所以ω=class="stub"3
2
…(4分)
(2)因为x∈[0,class="stub"π
6
]

所以3x+class="stub"π
4
∈[class="stub"π
4
,class="stub"3π
4
]
…(5分)
sin(3x+class="stub"π
4
)∈[
2
2
,1]
…(6分)
3x+class="stub"π
4
=class="stub"π
2
,即x=class="stub"π
12
时,ymax=2+
2

3x+class="stub"π
4
=class="stub"π
4
或class="stub"3π
4
,即x=0或class="stub"π
6
时,ymin=3…(8分)
(3)f(x)=
2
sin(2ωx+class="stub"π
4
)+2

的图象向右平移class="stub"π
2
个单位长度得到g(x)=
2
sin(3x-class="stub"5π
4
)+2
…(10分)
2kπ-class="stub"π
2
≤3x-class="stub"5π
4
≤2kπ+class="stub"π
2
,k∈Z

单调增区间是[class="stub"2π
3
+class="stub"π
4
,class="stub"2π
3
+class="stub"7
12
],k∈Z
…(12分)

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