首页 > 已知f（θ）=sin2θ+sin2（θ+α）+sin2（θ+β），其中α、β为参数，0≤α＜β≤π．是否存在这样的α、β，使f（θ）是与θ无关的定值？若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由．-数

已知f（θ）=sin2θ+sin2（θ+α）+sin2（θ+β），其中α、β为参数，0≤α＜β≤π．是否存在这样的α、β，使f（θ）是与θ无关的定值？若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由．-数

题目简介

已知f（θ）=sin2θ+sin2（θ+α）+sin2（θ+β），其中α、β为参数，0≤α＜β≤π．是否存在这样的α、β，使f（θ）是与θ无关的定值？若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由．-数

题目详情

已知f（θ）=sin2θ+sin2（θ+α）+sin2（θ+β），其中α、β为参数，0≤α＜β≤π．是否存在这样的α、β，使f（θ）是与θ无关的定值？若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

假设存在这样的α、β，使f（θ）是与θ无关的定值，则令θ=0⇒f（0）=sin2β+siα； 
 θ=class="stub"π
2
⇒f(class="stub"π
2
)=3-sin2β-sin2α；θ=-α⇒f（-α）=sin2（β-α）+sin2α； 
θ=-β⇒f（0）=sin2β+sin2（α-β）
由题设得：f(0)=f(class="stub"π
2
)=f(-α)=f(-β)，
即sin2α=sin2β=sin2(β-α)=class="stub"3
4
．
又∵0≤α＜β≤π，∴0＜β-α≤π．
即有：sinα=sinβ=sin(β-α)=
3
2
⇒
α=class="stub"π
3
β=class="stub"2π
3
．…（10分）
而当
α=class="stub"π
3
β=class="stub"2π
3
时，有f(θ)=sin2θ+sin2(θ+class="stub"π
3
)+sin2(θ+class="stub"2π
3
)=class="stub"3
2
．
故存在这样的α、β，即
α=class="stub"π
3
β=class="stub"2π
3
，使f（θ）是与θ无关的定值．…（12分）

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