首页 > 已知向量m=(1，cosωx)，n=(sinωx，3)（ω＞0），函数f(x)=m•n，且f（x）图象上一个最高点为P(π12，2)，与P最近的一个最低点的坐标为(7π12，-2)．（1）求函数f（x

已知向量m=(1，cosωx)，n=(sinωx，3)（ω＞0），函数f(x)=m•n，且f（x）图象上一个最高点为P(π12，2)，与P最近的一个最低点的坐标为(7π12，-2)．（1）求函数f（x

题目简介

已知向量m=(1，cosωx)，n=(sinωx，3)（ω＞0），函数f(x)=m•n，且f（x）图象上一个最高点为P(π12，2)，与P最近的一个最低点的坐标为(7π12，-2)．（1）求函数f（x

题目详情

已知向量
m
=(1，cosωx)，
n
=(sinωx，
3
)（ω＞0），函数f(x)=
m
•
n
，且f（x）图象上一个最高点为P(
π
12
，2)，与P最近的一个最低点的坐标为(
7π
12
，-2)．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设a为常数，判断方程f（x）=a在区间[0，
π
2
]上的解的个数；
（3）在锐角△ABC中，若cos(
π
3
-B)=1，求f（A）的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）f(x)=
m
•
n
=sinωx+
3
cosωx=2(class="stub"1
2
sinωx+
3
2
cosωx)=2sin(ωx+class="stub"π
3
)．…（3分）
∵f（x）图象上一个最高点为P(class="stub"π
12
，2)，与P最近的一个最低点的坐标为(class="stub"7π
12
，-2)，
∴class="stub"T
2
=class="stub"7π
12
-class="stub"π
12
=class="stub"π
2
，∴T=π，于是ω=class="stub"2π
T
=2．…（5分）
所以f(x)=2sin(2x+class="stub"π
3
)．…（6分）
（2）当x∈[0，class="stub"π
2
]时，class="stub"π
3
≤2x+class="stub"π
3
≤class="stub"4π
3
，由f(x)=2sin(2x+class="stub"π
3
)图象可知：
当a∈[
3
，2)时，f（x）=a在区间[0，class="stub"π
2
]上有二解；                   …（8分）
当a∈[-
3
，
3
)或a=2时，f（x）=a在区间[0，class="stub"π
2
]上有一解；
当a＜-
3
或a＞2时，f（x）=a在区间[0，class="stub"π
2
]上无解．…（10分）
（3）在锐角△ABC中，0＜B＜class="stub"π
2
，-class="stub"π
6
＜class="stub"π
3
-B＜class="stub"π
3
．
又cos(class="stub"π
3
-B)=1，故class="stub"π
3
-B=0，B=class="stub"π
3
．…（11分）
在锐角△ABC中，A＜class="stub"π
2
，A+B＞class="stub"π
2
，∴class="stub"π
6
＜A＜class="stub"π
2
．…（13分）
class="stub"2π
3
＜2A+class="stub"π
3
＜class="stub"4π
3
，
∴sin(2A+class="stub"π
3
)∈(-
3
2
，
3
2
)，…（15分）
∴f(A)=2sin(2A+class="stub"π
3
)∈(-
3
，
3
)．
即f（A）的取值范围是(-
3
，
3
)．…（16分）

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