已知函数f(x)=2sin2(π4-x)-23cos2x+3(I)求f(x)最小正周期和单调递减区间;(II)若f(x)<m+2在x∈[0,π6]上恒成立,求实数m的取值范围.-数学

题目简介

已知函数f(x)=2sin2(π4-x)-23cos2x+3(I)求f(x)最小正周期和单调递减区间;(II)若f(x)<m+2在x∈[0,π6]上恒成立,求实数m的取值范围.-数学

题目详情

已知函数f(x)=2sin2(
π
4
-x)-2
3
cos2x+
3

(I)求f(x)最小正周期和单调递减区间;
(II)若f(x)<m+2在x∈[0,
π
6
]
上恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:安徽模拟

答案

(I)∵函数f(x)=2sin2(class="stub"π
4
-x)-2
3
cos2x+
3

f(x)=1-cos(class="stub"π
2
-2x)-
3
cos2x=1-sin2x-
3
cos2x=-2sin(2x+class="stub"π
3
)+1

T=class="stub"2π
2

-class="stub"π
2
+2kπ≤2x+class="stub"π
3
≤class="stub"π
2
+2kπ

-class="stub"5
12
π+kπ≤x≤class="stub"π
12
+kπ

故f(x)的递减区间:[-class="stub"5
12
π+kπ,class="stub"π
12
+kπ](k∈z)
…(6分)
(II)由f(x)<m+2在x∈[0,class="stub"π
6
]
上恒成立,
得f(x)max<m+2,x∈[0,class="stub"π
6
]

0≤x≤class="stub"π
6
,有class="stub"π
3
≤2x+class="stub"π
3
≤class="stub"2
3
π

3
2
≤sin(2x+class="stub"π
3
)≤1

-1≤f(x)≤1-
3

m+2>1-
3

m>-1-
3

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