在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且acosA=bcosB.(1)试判断△ABC的形状;(2)若△ABC的面积为3,且tanC+2csinAa=0,求a.-数学

题目简介

在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且acosA=bcosB.(1)试判断△ABC的形状;(2)若△ABC的面积为3,且tanC+2csinAa=0,求a.-数学

题目详情

在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且acosA=bcosB.
(1)试判断△ABC的形状;
(2)若△ABC的面积为
3
,且tanC+
2csinA
a
=0
,求a.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由余弦定理得acosA=bcosB可知a•
b2+c2-a2
2bc
=b•
a2+c2-b2
2ac

所以a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),
即(a2-b2)c2=(a2-b2)(a2+b2),(3分)
所以(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,所以a=b或c2=a2+b2,
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.(6分)
(2)由tanC+class="stub"2csinA
a
=0
及正弦定理可得class="stub"sinC
cosC
+2sinC=0

而sinC>0,所以cosC=-class="stub"1
2
,所以C=class="stub"2π
3
,(8分)
结合(1)可知△ABC必为等腰三角形,且A=B=class="stub"π
6

故△ABC的面积S=class="stub"1
2
absinC=class="stub"1
2
a2
3
2
=
3

所以a=2.(12分)

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