在△ABC中,a,b,c分别为内角A、B、C的对边,且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若sinB+sinC=3,试判断△ABC的形状.-数学

题目简介

在△ABC中,a,b,c分别为内角A、B、C的对边,且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若sinB+sinC=3,试判断△ABC的形状.-数学

题目详情

在△ABC中,a,b,c分别为内角A、B、C的对边,且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若sinB+sinC=
3
,试判断△ABC的形状.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)由2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC,
利用正弦定理化简得:2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,…(2分)
整理得:bc=b2+c2-a2,
∴cosA=
b2+c2-a2
2bc
=class="stub"1
2
,…(4分)
又A为三角形的内角,
则A=60°;…(5分)
(Ⅱ)∵A+B+C=180°,A=60°,
∴B+C=180°-60°=120°,即C=120°-B,…(6分)
代入sinB+sinC=
3
得:sinB+sin(120°-B)=
3
,…(7分)
∴sinB+sin120°cosB-cos120°sinB=
3
,…(8分)
class="stub"3
2
sinB+
3
2
cosB=
3
,即sin(B+30°)=1,…(10分)
∴0<B<120°,
∴30°<B+30°<150°,
∴B+30°=90°,即B=60°,…(11分)
∴A=B=C=60°,
则△ABC为等边三角形.…(12分).

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