在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,且满足(2b-c)cosA=acosC.(1)求A的大小;(2)若a=2,求△ABC的面积的最大值,并指出此时△ABC的形状.-数学

题目简介

在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,且满足(2b-c)cosA=acosC.(1)求A的大小;(2)若a=2,求△ABC的面积的最大值,并指出此时△ABC的形状.-数学

题目详情

在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,且满足(2b-c)cosA=acosC.
(1)求A的大小;
(2)若a=2,求△ABC的面积的最大值,并指出此时△ABC的形状.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

∵△ABC中,(2b-c)cosA=acosC.
∴由正弦定理,得(2sinB-sinC)cosA=sinAcosC
化简整理,得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)
∵△ABC中,A+C=π-B,可得sinB=sin(A+C)
∴2sinBcosA=sinB,结合sinB>0,将两边约去cosB
可得2cosA=1,cosA=class="stub"1
2

∵A∈(0,π),∴A=class="stub"π
3

(2)∵a=2,A=class="stub"π
3

∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得
4=b2+c2-2bccosclass="stub"π
3
,即b2+c2-bc=4
∴b2+c2=4+bc≥2bc,可得bc≤4
又∵△ABC的面积S=class="stub"1
2
bcsinA=
3
4
bc≤
3

∴当且仅当b=c=2时,△ABC的面积的最大值为
3
,此时△ABC是等边三角形.

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