已知函数f(x)=(sinx2+cosx2)2-2sin2x2.(I)若f(x)=233,求sin2x的值;(II)求函数F(x)=f(x)•f(-x)+f2(x)的最大值与单调递增区间.-数学

题目简介

已知函数f(x)=(sinx2+cosx2)2-2sin2x2.(I)若f(x)=233,求sin2x的值;(II)求函数F(x)=f(x)•f(-x)+f2(x)的最大值与单调递增区间.-数学

题目详情

已知函数f(x)=(sin
x
2
+cos
x
2
)2-2sin2
x
2

(I)若f(x)=
2
3
3
,求sin2x的值;
(II)求函数F(x)=f(x)•f(-x)+f2(x)的最大值与单调递增区间.
题型:解答题难度:中档来源:泰安二模

答案

f(x)=(sinclass="stub"x
2
+cosclass="stub"x
2
)
2
-2sin2class="stub"x
2
=1+2sinclass="stub"x
2
cosclass="stub"x
2
-(1-cosx)
∴f(x)=sinx+cosx
(I)f(x)=sinx+cosx=
2
3
3
,两边平方得(sinx+cosx)2=class="stub"4
3

∴1+2sinxcosx=class="stub"4
3
,可得2sinxcosx=class="stub"1
3
,即sin2x=class="stub"1
3

(II)∵f(x)•f(-x)=(sinx+cosx)(-sinx+cosx)=cos2x-sin2x=cos2x,
f2(x)=(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx=1+sin2x
∴函数F(x)=f(x)•f(-x)+f2(x)=1+sin2x+cos2x,
化简,得数F(x)=
2
sin(2x+class="stub"π
4
)+1
当2x+class="stub"π
4
=class="stub"π
2
+2kπ时,即x=class="stub"π
8
+kπ(k∈Z)时,函数F(x)的最大值为
2
+1
令-class="stub"π
2
+2kπ<2x+class="stub"π
4
class="stub"π
2
+2kπ(k∈Z),得-class="stub"3π
8
+kπ<x<class="stub"π
8
+kπ
∴函数F(x)单调递增区间为(-class="stub"3π
8
+kπ,class="stub"π
8
+kπ).

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