设△ABC是锐角三角形,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,并且cos2A=cos2B-sin(π3+B)cos(π6+B).(1)求角A的值;(2)若△ABC的面积为63,求边a的最小值.-数学

题目简介

设△ABC是锐角三角形,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,并且cos2A=cos2B-sin(π3+B)cos(π6+B).(1)求角A的值;(2)若△ABC的面积为63,求边a的最小值.-数学

题目详情

设△ABC是锐角三角形,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,并且cos2A=cos2B-sin(
π
3
+B)cos(
π
6
+B)

(1)求角A的值;
(2)若△ABC的面积为6
3
,求边a的最小值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由 cos2A=cos2B-sin(class="stub"π
3
+B)cos(class="stub"π
6
+B)
可得
cos2A=cos2B-(sinclass="stub"π
3
cosB+cosclass="stub"π
3
sinB)•(cosclass="stub"π
6
cosB+sinclass="stub"π
6
sinB)
=cos2B-(class="stub"3
4
cos2B-class="stub"1
4
sin2B)=class="stub"1
4
cos2B+class="stub"1
4
sin2B=class="stub"1
4

可得cosA=±class="stub"1
2
,再由△ABC是锐角三角形可得A=class="stub"π
3

(2)由△ABC的面积为6
3
,可得 class="stub"1
2
bc•sinA
=6
3
,解得 bc=24.
再由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc•cosA=b2+c2-24.
再由基本不等式可得 a2=b2+c2-24≥2bc-24=48-24=24,当且仅当b=c时取等号,
故边a的最小值为2
6

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