由倍角公式cos2x=2cos2x-1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．对于cos3x，我们有cos3x=cos（2x+x）=cos2xcosx-sin2xsinx=（2cos2x-1）

题目简介

题目详情

由倍角公式cos2x=2cos²x-1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．
对于cos3x，我们有
cos3x=cos（2x+x）=cos2xcosx-sin2xsinx
=（2cos²x-1）cosx-2（sinxcosx）sinx
=2cos³x-cosx-2（1-cos²x）cosx
=4cos³x-3cocs．
可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式．
一般地，存在一个n次多项式P_n（t），使得cosnx=P_n（cosx），这些多项式P_n（t）称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．
（1）请尝试求出P₄（t），即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x．
（2）化简cos（60°-θ）cos（60°+θ）cosθ，并利用此结果求sin20°sin40°sin60°sin80°的值．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由于cos4x=cos（2x+2x）=cos22x-sin22x
=（2cos2x-1）2-（2sinxcosx）2
=4cos4x-4cos2x+1-4sin2cos2x
=4cos4x-4cos2x+1-4（1-cos2x）cos2x
=8cos4x-8cos2x+1（3分）
（2）cos（60°-θ）cos（60°+θ）cosθ=(class="stub"1

cosθ+

sinθ)(class="stub"1

cosθ-

sinθ)cosθ
=(class="stub"1

cos2θ-class="stub"3

sin2θ)cosθ=class="stub"1

(4cos2θ-3)cosθ=class="stub"1

cos3θ（7分）
∵sin20°sin40°sin60°sin80°=cos70°cos50°cos30°cos10°
=

cos10°cos(60°-10°)cos(60°+10°)=

×class="stub"1

cos30°=class="stub"3

上一篇 : 在△ABC中，若（sinA+cosA）（sinB+cos
下一篇 : 化简tan70°cos10°（3tan20°-1

由倍角公式cos2x=2cos2x-1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．对于cos3x，我们有cos3x=cos（2x+x）=cos2xcosx-sin2xsinx=（2cos2x-1）

题目简介

题目详情

答案

更多内容推荐