设函数f(x)=3sin2x+cos2x+1(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求函数f(x)的增区间(Ⅲ)当x∈[-π6,π3]时,求函数f(x)的最大最小值并求出相应的x的值.-数学

题目简介

设函数f(x)=3sin2x+cos2x+1(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求函数f(x)的增区间(Ⅲ)当x∈[-π6,π3]时,求函数f(x)的最大最小值并求出相应的x的值.-数学

题目详情

设函数f(x)=
3
sin2x+cos2x+1
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求函数f(x)的增区间
(Ⅲ)当x∈[-
π
6
π
3
]时,求函数f(x)的最大最小值并求出相应的x的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)函数f(x)=
3
sin2x+cos2x+1
=2(
3
2
sin2x+class="stub"1
2
cos2x)+1

=2sin(2x+class="stub"π
6
)+1

T=class="stub"2π
2

∴函数f(x)的最小正周期为π;
(II)由-class="stub"π
2
+2kπ≤2x+class="stub"π
6
≤class="stub"π
2
+2kπ

解得-class="stub"π
3
+kπ≤x≤class="stub"π
6
+kπ

∴函数f(x)的增区间为[-class="stub"π
3
+kπ,class="stub"π
6
+kπ]
(k∈Z).
(III)由x∈[-class="stub"π
6
,class="stub"π
3
],可得(2x+class="stub"π
6
)∈[-class="stub"π
6
,class="stub"5π
6
]

-class="stub"1
2
≤sin(2x+class="stub"π
6
)≤1

当且仅当2x+class="stub"π
6
=-class="stub"π
6
,即x=-class="stub"π
6
ymin=2×(-class="stub"1
2
)+1=0

当且仅当2x+class="stub"π
6
=class="stub"π
2
,即x=class="stub"π
6
,ymax=2×1+1=3.

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