已知函数f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x其中x∈R(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)当x∈[0,π2]时,求f(x)的值域.-数学

题目简介

已知函数f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x其中x∈R(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)当x∈[0,π2]时,求f(x)的值域.-数学

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已知函数f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x其中x∈R
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)当x∈[0,
π
2
]
时,求f(x)的值域.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵f(x)=class="stub"1-cos2x
2
+sin2x+3×class="stub"1+cos2x
2
=sin2x+cos2x+2=
2
sin(2x+class="stub"π
4
)+2

∴函数f(x)的最小正周期T=class="stub"2π
2
(6分)
(2)由(1)知:f(x)=
2
sin(2x+class="stub"π
4
)+2

x∈[0,class="stub"π
2
]
,则2x+class="stub"π
4
∈[class="stub"π
4
,class="stub"5π
4
]

所以当2x+class="stub"π
4
=class="stub"π
2
,即x=class="stub"π
8
时,f(x)max=2+
2

2x+class="stub"π
4
=class="stub"5π
4
,即x=class="stub"π
2
时,f(x)min=1
所以,f(x)的值域为[1,2+
2
]
(12分)

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