首页 > 已知向量a=(cos3x2，sin3x2)，b=(cosx2，-sinx2)，x∈[-π5，π2]（1）求证：(a-b)⊥(a+b)；（2）|a+b|=13，求sin2x的值．-数学

已知向量a=(cos3x2，sin3x2)，b=(cosx2，-sinx2)，x∈[-π5，π2]（1）求证：(a-b)⊥(a+b)；（2）|a+b|=13，求sin2x的值．-数学

题目简介

已知向量a=(cos3x2，sin3x2)，b=(cosx2，-sinx2)，x∈[-π5，π2]（1）求证：(a-b)⊥(a+b)；（2）|a+b|=13，求sin2x的值．-数学

题目详情

已知向量
a
=(cos
3x
2
，sin
3x
2
)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，x∈[-
π
5
，
π
2
]
（1）求证：(
a
-
b
)⊥(
a
+
b
)；
（2）|
a
+
b
|=
1
3
，求sin2x的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵
a
=(cosclass="stub"3x
2
，sinclass="stub"3x
2
)，
b
=(cosclass="stub"x
2
，-sinclass="stub"x
2
)
∴
a
2=cos2class="stub"3x
2
+sin2class="stub"3x
2
=1，
b
2=cos2class="stub"x
2
+sin2class="stub"x
2
=1（3分）
∴(
a
-
b
)•(
a
+
b
)=
a
2-
b
2=0（4分）
∴(
a
-
b
)⊥(
a
+
b
)（5分）

（2）∵|
a
+
b
|=
(
a
+
b
)2
=
a
2+2
a
•
b
+
b
2

=
1+2(cosclass="stub"3x
2
•cosclass="stub"x
2
+sinclass="stub"3x
2
•sinclass="stub"x
2
)+1

=
2+2cos2x
（8分）

又∵|
a
+
b
|=class="stub"1
3

∴cos2x=-class="stub"17
18
（10分）
∵x∈[-class="stub"π
5
，class="stub"π
2
]
∴2x∈[-class="stub"2π
5
，π]
∴sin2x=
35
18
（12分）

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