设△ABC的三个内角分别为A,B,C.向量m=(1,cosC2)与n=(3sinC2+cosC2,32)共线.(Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)设角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足2acosC+c=2

题目简介

设△ABC的三个内角分别为A,B,C.向量m=(1,cosC2)与n=(3sinC2+cosC2,32)共线.(Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)设角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足2acosC+c=2

题目详情

设△ABC的三个内角分别为A,B,C.向量
m
=(1,cos
C
2
)与
n
=(
3
sin
C
2
+cos
C
2
3
2
)
共线.
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)设角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足2acosC+c=2b,试判断△ABC的形状.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)∵
m
n
共线,
class="stub"3
2
=cosclass="stub"C
2
3
sinclass="stub"C
2
+cosclass="stub"C
2
)=
3
2
sinC+class="stub"1
2
(1+cosC)=sin(C+class="stub"π
6
)+class="stub"1
2

∴sin(C+class="stub"π
6
)=1,∴C=class="stub"π
3

(Ⅱ)由(Ⅰ)得2acosC+c=2b,即a+c=2b①,
根据余弦定理可得:c2=a2+b2-ab②,
联立①②解得:b(b-a)=0,
又b>0,∴b=a,C=class="stub"π
3
,所以△ABC为等边三角形.

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