首页 > f(x)=2sin(ωx-π3)cosωx+2cos(2ωx+π6)，其中ω＞0．（1）若ω=2，求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）满足f（π+x）=f（π-x）（x∈R），且ω∈(12

f(x)=2sin(ωx-π3)cosωx+2cos(2ωx+π6)，其中ω＞0．（1）若ω=2，求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）满足f（π+x）=f（π-x）（x∈R），且ω∈(12

题目简介

f(x)=2sin(ωx-π3)cosωx+2cos(2ωx+π6)，其中ω＞0．（1）若ω=2，求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）满足f（π+x）=f（π-x）（x∈R），且ω∈(12

题目详情

f(x)=2sin(ωx-
π
3
)cosωx+2cos(2ωx+
π
6
)，其中ω＞0．
（1）若ω=2，求函数f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）满足f（π+x）=f（π-x）（x∈R），且ω∈(
1
2
，1)，求函数f（x）的单调递减区间．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

根据题意，得f(x)=2sin(ωx-class="stub"π
3
)cosωx+2cos(2ωx+class="stub"π
6
)
=(sinωx-
3
cosωx)cosωx+2(cos2ωxcosclass="stub"π
6
-sin2ωcosclass="stub"π
6
)

∵2sinωxcosωx=sin2ωx，cos2ωx=class="stub"1
2
（1+cos2ωx）
∴f（x）
=class="stub"1
2
sin2ωx-
3
cos2ωx+
3
cos2ωx-sin2ωx

=-class="stub"1
2
sin2ωx-
3
×class="stub"1+cos2ωx
2
+
3
cos2ωx

=
3
2
cos2ωx-class="stub"1
2
sin2ωx-
3
2
=cos(2ωx+class="stub"π
6
)-
3
2
…（5分）
（1）若ω=2，则函数表达式为：f(x)=cos(4x+class="stub"π
6
)-
3
2
，
因此，f（x）的最小正周期T=class="stub"2π
4
=class="stub"π
2
…（7分）
（2）∵y=f（x）满足f（π+x）=f（π-x）（x∈R）
∴直线x=π是函数图象的对称轴，可得cos(2ωx+class="stub"π
6
)=1或cos(2ωx+class="stub"π
6
)=-1，
因此，
2ωπ+class="stub"π
6
=kπ，(k∈Z)
．解之得
ω=class="stub"k
2
-class="stub"1
12
，(k∈Z)

又∵ω∈(class="stub"1
2
，1)，∴取整数k=2，得ω=class="stub"11
12
，
可得函数解析式为：f(x)=cos(class="stub"11
6
x+class="stub"π
6
)-
3
2

解不等式2kπ≤class="stub"11
6
x+class="stub"π
6
≤2kπ+π，(k∈Z)，得class="stub"12
11
kπ-class="stub"π
11
≤x≤class="stub"12
11
kπ+class="stub"5π
11
，(k∈Z)
∴函数f（x）的单调递减区间为[class="stub"12
11
kπ-class="stub"π
11
，class="stub"12
11
kπ+class="stub"5π
11
]，(k∈Z)．…（13分）

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