在锐角△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且bsinAcosB=(2c-b)sinBcosA.(I)求角A;(II)已知向量m=(sinB,cosB),n=(cos2C,sin2C),求|

题目简介

在锐角△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且bsinAcosB=(2c-b)sinBcosA.(I)求角A;(II)已知向量m=(sinB,cosB),n=(cos2C,sin2C),求|

题目详情

在锐角△ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且 bsinAcosB=(2c-b)sinBcosA.
(I)求角A;
(II)已知向量
m
=(sinB,cosB),
n
=(cos2C,sin2C),求|
m
+
n
|的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:合肥二模

答案

(I)在锐角△ABC 中,由 bsinAcosB=(2c-b)sinBcosA利用正弦定理可得
sinBsinAcosB=2sinCsinBcosA-sinBsinBcosA,
故有sinBsin(A+B)=2sinCsinBcosA,解得cosA=class="stub"1
2
,∴A=class="stub"π
3

(Ⅱ)由题意可得
m
+
n
=(sinB+cos2C,cosB+sin2C),(
m
+
n
)
2
=(sinB+sin2C)2+(cosB+cos2C)2=2+2sin(B+2C)=2+2sin(class="stub"2π
3
+C).
由于 class="stub"π
6
<C<class="stub"π
2
,∴class="stub"5π
6
class="stub"2π
3
+C<class="stub"7π
6

∴-class="stub"1
2
<sin( class="stub"2π
3
+C)<class="stub"1
2
,∴1<2+2sin(class="stub"2π
3
+C)<3,
故|
m
+
n
|的取值范围为(1,
3
).

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