函数f(x)=cos4x-sin4x+2asin2(x2-π4),x∈[π6,2π3],a∈R(1)当a=-4时,求函数f(x)的最大值;(2)设g(x)=sinx-32a,且f(x)≤-ag(x)在

题目简介

函数f(x)=cos4x-sin4x+2asin2(x2-π4),x∈[π6,2π3],a∈R(1)当a=-4时,求函数f(x)的最大值;(2)设g(x)=sinx-32a,且f(x)≤-ag(x)在

题目详情

函数f(x)=cos4x-sin4x+2asin2(
x
2
-
π
4
),x∈[
π
6
3
],a∈R

(1)当a=-4时,求函数f(x)的最大值;
(2)设g(x)=sinx-
3
2
a
,且f(x)≤-ag(x)在x∈[
π
6
3
]
上恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵a=-4
f(x)=cos4x-sin4x+2asin2(class="stub"x
2
-class="stub"π
4
)

=cos2x-4(1-cos(x-class="stub"π
2
))
=1-2sin2x+4sinx-4
=-2(sinx-1)2-1,
∵x∈[class="stub"π
6
class="stub"2π
3
],
class="stub"1
2
≤sinx≤1,当sinx=1时,f(x)取得最大值-1,
∴函数f(x)的最大值为-1;
(2)∵g(x)=sinx-class="stub"3
2
a
,且f(x)≤-ag(x)在x∈[class="stub"π
6
,class="stub"2π
3
]
上恒成立,
∴-a(sinx-class="stub"3
2
a)≥f(x)=cos2x+a[1-sinx]在x∈[class="stub"π
6
,class="stub"2π
3
]
上恒成立,
class="stub"3
2
a2-a≥cos2x,x∈[class="stub"π
6
class="stub"2π
3
]恒成立,
而x∈[class="stub"π
6
class="stub"2π
3
]时,(cos2x)max=cosclass="stub"π
3
=class="stub"1
2

∴即class="stub"3
2
a2-a≥class="stub"1
2

∴a≥1或a≤-class="stub"1
3

实数a的取值范围为(-∞,-class="stub"1
3
]∪[1,+∞).

更多内容推荐