在△ABC中,已知tanA+B2=sinC,给出以下论断:①tanA-cotB=1②0<sinA+sinB≤2③sin2A+cos2B=1④cos2A+cos2B=sin2C其中正确的是:______

题目简介

在△ABC中,已知tanA+B2=sinC,给出以下论断:①tanA-cotB=1②0<sinA+sinB≤2③sin2A+cos2B=1④cos2A+cos2B=sin2C其中正确的是:______

题目详情

在△ABC中,已知tan
A+B
2
=sinC,给出以下论断:
①tanA-cotB=1         ②0<sinA+sinB≤
2

③sin2A+cos2B=1    ④cos2A+cos2B=sin2C
其中正确的是:______.
题型:填空题难度:偏易来源:不详

答案

∵tanclass="stub"A+B
2
=sinC,∴
sinclass="stub"A+B
2
cosclass="stub"A+B
2
=2sinclass="stub"A+B
2
cosclass="stub"A+B
2

整理求得cosclass="stub"A+B
2
=
2
2
,∴A+B=90°.
∴tanA-cotB=tanA-tanA=0,不等于1,故①不正确.
由上可得 sinA+sinB=sinA+cosA=
2
sin(A+45°),
 45°<A+45°<135°,故有
2
2
<sin(A+45°)≤1,
∴0<sinA+sinB≤
2
,所以②正确.
sin2A+cos2B=sin2A+sin2A=2sin2A,不一定等于1,故③不正确.
∵cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1,sin2C=sin290°=1,
所以cos2A+cos2B=sin2C,所以④正确.
故答案为②④.

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