已知△ABC的外接圆半径为1,角A,B,C的对边分别为a,b,c.向量m=(a,4cosB),n=(cosA,b)满足m∥n.(1)求sinA+sinB的取值范围;(2)若A∈(0,π3),且实数x满

题目简介

已知△ABC的外接圆半径为1,角A,B,C的对边分别为a,b,c.向量m=(a,4cosB),n=(cosA,b)满足m∥n.(1)求sinA+sinB的取值范围;(2)若A∈(0,π3),且实数x满

题目详情

已知△ABC的外接圆半径为1,角A,B,C的对边分别为a,b,c.向量
m
=(a,4cosB)
n
=(cosA,b)
满足
m
n

(1)求sinA+sinB的取值范围;
(2)若A∈(0,
π
3
)
,且实数x满足abx=a-b,试确定x的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵
m
n

由向量平行的坐标表示可得,class="stub"a
cosA
=class="stub"4cosB
b
即ab=4cosAcosB
∵△ABC的外接圆半径为1
由正弦定理可得,4sinAsinB=4cosAcosB
∴cosAcosB-sinAsinB=0即cos(A+B)=0
∵0<A+B<π
∴A+B=class="stub"1
2
π
故△ABC为直角三角形
∴sinA+sinB=sinA+cosA=
2
sin(A+class="stub"π
4
)

class="stub"π
4
<A+class="stub"π
4
<class="stub"3π
4

2
2
<sin(A+class="stub"π
4
)≤1

1<sinA+sinB≤
2

(2)由题意可得,x=class="stub"a-b
ab
=class="stub"sinA-sinB
2sinAsinB
=class="stub"sinA-cosA
2sinAcosA

设t=sinA-cosA(-1<t<
3
-1
2
),则2sinAcosA=1-t2
∴x=class="stub"t
1-t2

∵=
1+t2
(1-t2)2
>0
故x=class="stub"t
1-t2
在(-1,
3
-1
2
)上单调递增
class="stub"t
1-t2
3
-1
2
1-(
3
-1
2
)2
=
3-
3
3

∴x的取值范围是x<
3-
3
3

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