在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b2=ac=a2-c2+bc.(1)求bsinBc的值;(2)试判断△ABC的形状,并说明理由.-数学

题目简介

在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b2=ac=a2-c2+bc.(1)求bsinBc的值;(2)试判断△ABC的形状,并说明理由.-数学

题目详情

在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b2=ac=a2-c2+bc.
(1)求
bsinB
c
的值;
(2)试判断△ABC的形状,并说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵b2=a2-c2+bc,即b2+c2-a2=bc,
∴由余弦定理得:cosA=
b2+c2-a2
2bc
=class="stub"1
2

又A为三角形的内角,
∴A=class="stub"π
3
,…(3分)
又b2=ac,即c=
b2
a

class="stub"bsinB
c
=class="stub"absinB
b2
=class="stub"asinB
b

由正弦定理class="stub"a
sinA
=class="stub"b
sinB
得:sinA=class="stub"asinB
b

class="stub"asinB
c
=sinA
,又sinA=
3
2

class="stub"bsinB
c
=
3
2
; …(7分)
(2)△ABC为等边三角形,理由如下:…(9分)
证明:不失一般性,可设c=1,
∵b2=ac=a2-c2+bc,
∴b2=a=a2+b-1,
消去a得:b2=b4+b-1,即(b-1)(b3+b2+1)=0,
∵b3+b2+1≠0,
∴b-1=0,即b=1,
∴a=b2=1,
∴a=b=c=1,
则△ABC为等边三角形.…(14分)

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