首页 > 已知函数f(x)=sin2x+23sinxcosx+sin(x+π4)sin(x-π4)，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期和值域；（2）若x=x0(0≤x0≤π2)为f（x）的一个零点，求sin2

已知函数f(x)=sin2x+23sinxcosx+sin(x+π4)sin(x-π4)，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期和值域；（2）若x=x0(0≤x0≤π2)为f（x）的一个零点，求sin2

题目简介

已知函数f(x)=sin2x+23sinxcosx+sin(x+π4)sin(x-π4)，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期和值域；（2）若x=x0(0≤x0≤π2)为f（x）的一个零点，求sin2

题目详情

已知函数f(x)=sin2x+2
3
sinxcosx+sin(x+
π
4
)sin(x-
π
4
)，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和值域；
（2）若x=x0(0≤x0≤
π
2
)为f（x）的一个零点，求sin2x0的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）易得f(x)=sin2x+
3
sin2x+class="stub"1
2
(sin2x-cosx2)=class="stub"1-cos2x
2
+
3
sin2x-class="stub"1
2
cos2x=
3
sin2x-cos2x+class="stub"1
2
=2sin(2x-class="stub"π
6
)+class="stub"1
2
，
所以f（x）周期π，值域为[-class="stub"3
2
，class="stub"5
2
]；
（2）由f(x0)=2sin(2x0-class="stub"π
6
)+class="stub"1
2
=0，得sin(2x0-class="stub"π
6
)=-class="stub"1
4
＜0，
又由0≤x0≤class="stub"π
2
得-class="stub"π
6
≤2x0-class="stub"π
6
≤class="stub"5π
6
，
所以-class="stub"π
6
≤2x0-class="stub"π
6
≤0，故cos(2x0-class="stub"π
6
)=
15
4
，
此时，sin2x0=sin[(2x0-class="stub"π
6
)+class="stub"π
6
]=sin(2x0-class="stub"π
6
)cosclass="stub"π
6
+cos(2x0-class="stub"π
6
)sinclass="stub"π
6
=-class="stub"1
4
×
3
2
+
15
4
×class="stub"1
2
=
15
-
3
8
．

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