设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3且bsinB=2.(1)求A的大小;(2)求a2+b2-c2ab+2cosB的取值范围.-数学

题目简介

设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3且bsinB=2.(1)求A的大小;(2)求a2+b2-c2ab+2cosB的取值范围.-数学

题目详情

设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=
3
b
sinB
=2

(1)求A的大小;
(2)求
a2+b2-c2
ab
+2cosB
的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由正弦定理知class="stub"a
sinA
=class="stub"b
sinB
=2
,又a=
3
,∴sinA=
3
2
,又△ABC为锐角三角形,故A=class="stub"π
3

(2)
a2+b2-c2
ab
+2cosB=2cosC+2cosB=2cos(π-class="stub"π
3
-B)+2cosB
=2cos(class="stub"2π
3
-B)+2cosB=-cosB+
3
sinB+2cosB
=cosB+
3
sinB=2sin(class="stub"π
6
+B)

由于△ABC为锐角三角形,故有
0<B<class="stub"π
2
0<π-class="stub"π
3
-B<class="stub"π
2
,∴class="stub"π
6
<B<class="stub"π
2

class="stub"π
3
<class="stub"π
6
+B<class="stub"2π
3
,∴
3
2
<sin(class="stub"π
6
+B)≤1
,∴
3
<2sin(class="stub"π
6
+B)≤2

a2+b2-c2
ab
+2cosB
的取值范围是(
3
,2]

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