已知函数f(x)=3sinωx+cos(ωx+π3)+cos(ωx-π3)-1(ω>0,x∈R),且函数f(x)的最小正周期为π.(I)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)将函数f(x)昀图象向右平移π6个

题目简介

已知函数f(x)=3sinωx+cos(ωx+π3)+cos(ωx-π3)-1(ω>0,x∈R),且函数f(x)的最小正周期为π.(I)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)将函数f(x)昀图象向右平移π6个

题目详情

已知函数f(x)=
3
sinωx+cos(ωx+
π
3
)+cos(ωx-
π
3
)-1(ω>0,x∈R)
,且函数f(x)的最小正周期为π.
(I)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)将函数f(x)昀图象向右平移
π
6
个单位,得到函数了y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在[0,
π
2
]
上的值域.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)∵f(x)=
3
sinωx+cos(ωx+class="stub"π
3
)+cos(ωx-class="stub"π
3
)-1

=
3
sinωx+class="stub"1
2
cosωx-
3
2
sinωx+class="stub"1
2
cosωx+
3
2
sinωx-1
=2sin(ωx+class="stub"π
6
)-1,
∴函数f(x)的最小正周期为class="stub"2π
ω
=π;
∴ω=2.
∴f(x)=2sin(2x+class="stub"π
6
)-1.
(Ⅱ)依题意,将函数f(x)昀图象向右平移class="stub"π
6
个单位,
得到函数g(x)=2sin(2x-class="stub"π
3
+class="stub"π
6
)-1=2sin(2x-class="stub"π
6
)-1的图象,
函数g(x)的解析式g(x)=2sin(2x-class="stub"π
6
)-1.
∵0≤x≤class="stub"π
2
,∴-class="stub"π
6
≤2x-class="stub"π
6
class="stub"5π
6
,∴-2≤2sin(2x-class="stub"π
6
)-1≤1
函数y=g(x)在[0,class="stub"π
2
]
上的值域为[-2,1].

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