首页 > 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为3．（1）求椭圆C的方程；（2）直线y=x与椭圆C在第一象限相交于点A，试探究在椭圆C上存在多少个点B，使△

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为3．（1）求椭圆C的方程；（2）直线y=x与椭圆C在第一象限相交于点A，试探究在椭圆C上存在多少个点B，使△

题目简介

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为3．（1）求椭圆C的方程；（2）直线y=x与椭圆C在第一象限相交于点A，试探究在椭圆C上存在多少个点B，使△

题目详情

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
6
3
，短轴一个端点到右焦点的距离为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线y=x与椭圆C在第一象限相交于点A，试探究在椭圆C上存在多少个点B，使△OAB为等腰三角形．（简要说明理由，不必求出这些点的坐标）
题型：解答题难度：中档来源：广州一模

答案

（1）由于短轴一个端点到右焦点的距离为3，则a=3…（1分），
因为e=class="stub"c
a
=
6
3
…（2分），所以c=
6
…（3分），
所以b2=a2-c2=9-6=3…（4分），
所以椭圆C的方程为：
x2
9
+
y2
3
=1…（5分）
（2）直线方程与椭圆方程联立
x2
9
+
y2
3
=1
y=x
（x＞0），解得x=y=class="stub"3
2
，即A(class="stub"3
2
，class="stub"3
2
)…（6分）
以O为顶点的等腰三角形△OAB有两个，此时B为A关于x轴或y轴的对称点…（8分），
以A为顶点的等腰三角形△OAB有两个（9分），此时B为以A为圆心、AO为半径的圆弧与椭圆C的交点…（10分），
以AO为底边的等腰三角形△OAB有两个（11分），此时B为AO的垂直平分线与椭圆C的交点…（12分）．
因为直线y=x倾斜角为class="stub"π
4
，所以以上等腰△OAB不可能是等边三角形…（13分），
即以上6个三角形互不相同，存在6个点B，使△OAB为等腰三角形…（14分）．

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