首页 > 已知函数f(x)=23sinxcosx-2sin2x+1．（1）若x∈R，求函数f（x）的单调增区间；（2）求函数f（x）在区间[0，π2]上的最小值及此时x的值；（3）若f(x0)=65，x0∈[π

已知函数f(x)=23sinxcosx-2sin2x+1．（1）若x∈R，求函数f（x）的单调增区间；（2）求函数f（x）在区间[0，π2]上的最小值及此时x的值；（3）若f(x0)=65，x0∈[π

题目简介

已知函数f(x)=23sinxcosx-2sin2x+1．（1）若x∈R，求函数f（x）的单调增区间；（2）求函数f（x）在区间[0，π2]上的最小值及此时x的值；（3）若f(x0)=65，x0∈[π

题目详情

已知函数f(x)=2
3
sinxcosx-2sin2x+1．
（1）若x∈R，求函数f（x）的单调增区间；
（2）求函数f（x）在区间[0，
π
2
]上的最小值及此时x的值；
（3）若f(x0)=
6
5
，x0∈[
π
4
，
π
2
]，求sin2x0的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵函数f(x)=2
3
sinxcosx-2sin2x+1=
3
sin2x+cos2x=2sin（2x+class="stub"π
6
），
令 2kπ-class="stub"π
2
≤2x+class="stub"π
6
≤2kπ+class="stub"π
2
，k∈z，解得 kπ-class="stub"π
3
≤x≤kπ+class="stub"π
6
，k∈z．
故函数f（x）的单调增区间为[kπ-class="stub"π
3
，kπ+class="stub"π
6
]，k∈z．
（2）∵x∈[0，class="stub"π
2
]，∴2x+class="stub"π
6
∈[class="stub"π
6
 ，class="stub"7π
6
]，故当2x+class="stub"π
6
=class="stub"7π
6
，即x=class="stub"π
2
时，函数f（x）取得最小值为-1．
（3）若f(x0)=class="stub"6
5
，x0∈[class="stub"π
4
，class="stub"π
2
]，则有2sin（2x0+class="stub"π
6
）=class="stub"6
5
，sin（2x0+class="stub"π
6
）=class="stub"3
5
．
再由（2x0+class="stub"π
6
）为钝角可得cos（2x0+class="stub"π
6
）=-class="stub"4
5
，
∴sin2x0 =sin[（2x0+class="stub"π
6
）-class="stub"π
6
]=sin（2x0+class="stub"π
6
）cosclass="stub"π
6
-cos（2x0+class="stub"π
6
）sinclass="stub"π
6
=class="stub"3
5
×
3
2
-class="stub"-4
5
×class="stub"1
2
=
3
3
+4
10
．

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