首页 > 已知函数f（x）=2sinωxcosωx-23sin2ωx+3（ω＞0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1-x2|的最小值为π2．（I）求ω的值；（II）求函数

已知函数f（x）=2sinωxcosωx-23sin2ωx+3（ω＞0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1-x2|的最小值为π2．（I）求ω的值；（II）求函数

题目简介

已知函数f（x）=2sinωxcosωx-23sin2ωx+3（ω＞0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1-x2|的最小值为π2．（I）求ω的值；（II）求函数

题目详情

已知函数f（x）=2sinωxcosωx-2
3
sin2ωx+
3
（ω＞0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1-x2|的最小值为
π
2
．
（I）求ω的值；
（II）求函数f（x）的单调增区间；
（III）若f（a）=
2
3
，求sin（
5
6
π-4a）的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）∵f（x）=2sinωxcosωx-2
3
sin2ωx+
3
=sin2ωx+
3
cos2ωx=2sin（2ωx+class="stub"π
3
）
∵直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1-x2|的最小值为class="stub"π
2
，
∴函数的最小正周期为π
∴class="stub"2π
2ω
=π
∴ω=1；
（II）由（I）知，f（x）=2sin（2x+class="stub"π
3
）
∴-class="stub"π
2
+2kπ≤2x+class="stub"π
3
≤class="stub"π
2
+2kπ，k∈Z
∴-class="stub"5π
12
+kπ≤x≤class="stub"π
12
+kπ，k∈Z
∴函数f（x）的单调增区间为[-class="stub"5π
12
+kπ，class="stub"π
12
+kπ]，k∈Z；
（III）∵f（a）=class="stub"2
3
，∴sin（2a+class="stub"π
3
）=class="stub"1
3

∴sin（class="stub"5
6
π-4a）=sin[class="stub"3π
2
-2（2a+class="stub"π
3
）]=-cos[2（2a+class="stub"π
3
）]=2sin2（2a+class="stub"π
3
）-1=-class="stub"7
9
．

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