首页 > 已知向量a=（cos2ωx-sin2ωx，sinωx），b=（3，2cosωx），函数f（x）=a•b（x∈R）的图象关于直线x=π2对称，其中ω为常数，且ω∈（0，1）．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式

已知向量a=（cos2ωx-sin2ωx，sinωx），b=（3，2cosωx），函数f（x）=a•b（x∈R）的图象关于直线x=π2对称，其中ω为常数，且ω∈（0，1）．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式

题目简介

已知向量a=（cos2ωx-sin2ωx，sinωx），b=（3，2cosωx），函数f（x）=a•b（x∈R）的图象关于直线x=π2对称，其中ω为常数，且ω∈（0，1）．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式

题目详情

已知向量
a
=（cos2ωx-sin2ωx，sinωx），
b
=（
3
，2cosωx），函数f（x）=
a
•
b
（x∈R）的图象关于直线x=
π
2
对称，其中ω为常数，且ω∈（0，1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的
1
6
，再将所得图象向右平移
π
3
个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）的图象，求y=h（x）在[-
π
4
，
π
4
]上的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（本小题满分12分）
（Ⅰ）因为函数f（x）=
a
•
b
=（cos2ωx-sin2ωx，sinωx）•（
3
，2cosωx）
=
3
（cos2ωx-sin2ωx）+2sinωxcosωx
=
3
cos2ωx+sin2ωx
=2sin（2ωx+class="stub"π
3
），
函数f（x）的图象关于直线x=class="stub"π
2
对称，
所以2sin（2ωx+class="stub"π
3
）=±2，ωπ+class="stub"π
3
=kπ+class="stub"π
2
，k∈Z，ω=k+class="stub"1
6
，k∈Z，
其中ω为常数，且ω∈（0，1）．所以ω=class="stub"1
6
．
函数f（x）=2sin（class="stub"1
3
x+class="stub"π
3
）；
（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的class="stub"1
6
，
再将所得图象向右平移class="stub"π
3
个单位，纵坐标不变，
得到y=2sin（2x-class="stub"π
3
）的图象，所以h（x）=2sin（2x-class="stub"π
3
），
x∈[-class="stub"π
4
，class="stub"π
4
]，∴2x-class="stub"π
3
∈[-class="stub"5π
6
，class="stub"π
6
]，∴2sin（2x-class="stub"π
3
）∈[-2，1]
h（x）在[-class="stub"π
4
，class="stub"π
4
]上的取值范围[-2，1]．

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