首页 > 在直角坐标系xOy中，已知点A（-2，0），B(0，23)，C（2cosθ，sinθ），其中θ∈[0，π2]．（1）若AB∥OC，求tanθ的值；（2）设点D（1，0），求AC•BD的最大值；（3）设

在直角坐标系xOy中，已知点A（-2，0），B(0，23)，C（2cosθ，sinθ），其中θ∈[0，π2]．（1）若AB∥OC，求tanθ的值；（2）设点D（1，0），求AC•BD的最大值；（3）设

题目简介

在直角坐标系xOy中，已知点A（-2，0），B(0，23)，C（2cosθ，sinθ），其中θ∈[0，π2]．（1）若AB∥OC，求tanθ的值；（2）设点D（1，0），求AC•BD的最大值；（3）设

题目详情

在直角坐标系xOy中，已知点A（-2，0），B (0，2
3
)，C（2cosθ，sinθ），其中θ∈[0，
π
2
]．
（1）若
AB
∥
OC
，求tanθ的值；
（2）设点D（1，0），求
AC
 •  
BD
的最大值；
（3）设点E（a，0），a∈R，将
OC
 •  
CE
表示成θ的函数，记其最小值为f（a），求f（a）的表达式，并求f（a）的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由已知，得
AB
=(2，2
3
)，
OC
=(2cosθ，sinθ)，…（2分）
因为
AB
∥
OC
，所以4
3
cosθ=2sinθ，tanθ=2
3
．…（3分）
（2）由已知，
AC
=(2cosθ+2，sinθ)，
BD
=(1，-2
3
)，
AC
 •  
BD
=2cosθ-2
3
sinθ+2=4cos(θ+class="stub"π
3
)+2…（5分）
又θ+class="stub"π
3
∈[class="stub"π
3
，class="stub"5π
6
]，…（6分）
所以，当θ=0时，
AC
 •  
BD
取得最大值，最大值为4．…（8分）
（3）由已知，
CE
=(a-2cosθ，-sinθ)，
所以，
OC
•
CE
=2acosθ-4cos2θ-sin2θ=-3cos2θ+2acosθ-1，
设t=cosθ，
OC
•
CE
=-3t2+2at-1，t∈[0，1]…（10分）
当class="stub"a
3
＜class="stub"1
2
，即a＜class="stub"3
2
时，f（a）=2a-4，
当class="stub"a
3
≥class="stub"1
2
，即a≥class="stub"3
2
时，f（a）=-1，
所以，f(a)=
2a-4，a＜class="stub"3
2
-1 a≥class="stub"3
2
…（12分）
因为当a＜class="stub"3
2
时，f(a)＜f(class="stub"3
2
)=-1，当a≥class="stub"3
2
时，f（a）=-1，
所以f（a）的最大值为-1．…（14分）

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