设函数f(x)=3sin2x+2cos2x+2.(I)求f(x)的最小正周期和值域;(II)求f(x)的单调递增区间.-数学

题目简介

设函数f(x)=3sin2x+2cos2x+2.(I)求f(x)的最小正周期和值域;(II)求f(x)的单调递增区间.-数学

题目详情

设函数f(x)=
3
sin2x+2cos2x+2

(I)求f(x)的最小正周期和值域;
(II)求f(x)的单调递增区间.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)∵f(x)=
3
sin2x+2cos2x+2
=
3
sin2x+cos2x+3
=2(
3
2
sin2x+class="stub"1
2
cos2x)+3

=2(cosclass="stub"π
6
sin2x+sinclass="stub"π
6
cos2x)
=2sin(2x+class="stub"π
6
)+3
…(4分)
∴f(x)最小正周期为T=π,…(6分)
∵当x=2kπ+class="stub"π
2
,k∈z
时,f(x)有最大值5
x=2kπ-class="stub"π
2
,k∈z
时,f(x)有最小值1                    …(8分)
∴f(x)的值域为[1,5]…(9分)
(II)由2kπ-class="stub"π
2
≤2x+class="stub"π
6
≤2kπ+class="stub"π
2
,k∈z
2kπ-class="stub"2π
3
≤2x≤2kπ+class="stub"π
3
kπ-class="stub"π
3
≤x≤kπ+class="stub"π
6
…(12分)
∴f(x)的单调递增区间为[kπ-class="stub"π
3
,kπ+class="stub"π
6
],k∈z
.…(13分)

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