已知函数f(x)=2sinωx•cosωx+23cos2ωx-3(其中ω>o),且函数f(x)的最小正周期为π(I)求ω的值;(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象向右平移π6单位长度,再将所得图象各点的横坐

题目简介

已知函数f(x)=2sinωx•cosωx+23cos2ωx-3(其中ω>o),且函数f(x)的最小正周期为π(I)求ω的值;(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象向右平移π6单位长度,再将所得图象各点的横坐

题目详情

已知函数f(x)=2sinωx•cosωx+2
3
cos2ωx-
3
(其中ω>o),且函数f(x)的最小正周期为π
(I)求ω的值;
(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象向右平移
π
6
单位长度,再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的
1
2
倍(纵坐标不变)得到函数y=g(x)的图象.求函数g(x)的单调区间.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)∵2sinωxcosωx=sin2ωx,cos2ωx=class="stub"1
2
(1+cos2ωx)
∴f(x)=sin2ωx+
3
(1+cos2ωx)-
3

=sin2ωx+
3
cos2ωx=2sin(2ωx+class="stub"π
3

∵函数f(x)的最小正周期为π
class="stub"2π
=π,解之得ω=1
(II)由(I),得f(x)=2sin(2x+class="stub"π
3

将函数y=f(x)的图象向右平移class="stub"π
6
单位长度,得到y=f(x+class="stub"π
6
)的图象;
再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的class="stub"1
2
倍(纵坐标不变)得到y=f(2x+class="stub"π
6
)的图象
∴函数y=g(x)的解析式为y=2sin[2(2x+class="stub"π
6
)+class="stub"π
3
],可得g(x)=2sin(4x+class="stub"2π
3

令-class="stub"π
2
+2kπ≤4x+class="stub"2π
3
class="stub"π
2
+2kπ,k∈Z,解之得-class="stub"7π
24
+class="stub"kπ
2
≤x≤class="stub"5π
24
+class="stub"kπ
2
,k∈Z
∴函数g(x)的单调增区间是[-class="stub"7π
24
+class="stub"kπ
2
class="stub"5π
24
+class="stub"kπ
2
],k∈Z
同理,令class="stub"π
2
+2kπ≤4x+class="stub"2π
3
class="stub"3π
2
+2kπ(k∈Z ),得g(x)的单调减区间是[class="stub"5π
24
+class="stub"kπ
2
class="stub"17π
24
+class="stub"kπ
2
],k∈Z
综上所述,可得g(x)的单调减区间是[class="stub"5π
24
+class="stub"kπ
2
class="stub"17π
24
+class="stub"kπ
2
],单调增区间是[-class="stub"7π
24
+class="stub"kπ
2
class="stub"5π
24
+class="stub"kπ
2
],k∈Z.

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