设△ABC的三个内角A,B,C对边分别是a,b,c,已知asinA=b3cosB,(1)求角B;(2)若A是△ABC的最大内角,求cos(B+C)+3sinA的取值范围.-数学

题目简介

设△ABC的三个内角A,B,C对边分别是a,b,c,已知asinA=b3cosB,(1)求角B;(2)若A是△ABC的最大内角,求cos(B+C)+3sinA的取值范围.-数学

题目详情

设△ABC的三个内角A,B,C对边分别是a,b,c,已知
a
sinA
=
b
3
cosB

(1)求角B;
(2)若A是△ABC的最大内角,求cos(B+C)+
3
sinA
的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:铁岭模拟

答案

(1)在△ABC中,由正弦定理,得class="stub"a
sinA
=class="stub"b
sinB

又因为class="stub"a
sinA
=class="stub"b
3
cosB
,所以sinB=
3
cosB

所以tanB=
3
,又因为0<B<π,所以B=class="stub"π
3

(2)在△ABC中,B+C=π-A,
所以cos(B+C)+
3
sinA=
3
sinA-cosA
=2sin(A-class="stub"π
6
)

由题意,得class="stub"π
3
≤A<class="stub"2π
3
class="stub"π
6
A-class="stub"π
6
class="stub"π
2

所以sin(A-class="stub"π
6
∈[class="stub"1
2
,1)
,即2sin(A-class="stub"π
6
)∈[1,2),
所以cos(B+C)+
3
sinA
的取值范围[1,2).

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