已知f(x)=43sinx2cosx2-4sin2x2+2.(1)化简f(x)并求函数的周期(2)在三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,对定义域内任意x,有f(x)≤f(A),若a=

题目简介

已知f(x)=43sinx2cosx2-4sin2x2+2.(1)化简f(x)并求函数的周期(2)在三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,对定义域内任意x,有f(x)≤f(A),若a=

题目详情

已知f(x)=4
3
sin
x
2
cos
x
2
-4sin2
x
2
+2.
(1)化简f(x)并求函数的周期
(2)在三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,对定义域内任意x,有f(x)≤f(A),若a=
3
,求
AB
AC
的最大值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵f(x)=2
3
sinx-2(2sin2class="stub"x
2
-1)

=2
3
sinx+2cosx
=4sin(x+class="stub"π
6
)(3分)
∴T=2π(5分)
(2)∵∀x∈R,有f(x)≤f(A)
∴f(A)为f(x)为最大值
∴f(A)=4即sin(A+class="stub"π
6
)=1
∴0<A<π
∴A+class="stub"π
6
=class="stub"π
2
,A=class="stub"π
3
(8分)
AB
AC
=bccosA=class="stub"1
2
bc

又∵a2=b2+c2-2bccosA,a=
3

∴3=b2+c2-bc≥bc(当b=c时取等号)(10分)
∴bc≤3
AB
AC
的最大值class="stub"3
2
,此时b=c=
3
(12分)

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