首页 > 已知向量a=（2cosωx，-1），b=（3sinωx+cosωx，1）（ω＞0），函数f（x）=a•b的最小正周期为π．（I）求函数f（x）的表达式及最大值；（Ⅱ）若在x∈[0，π2]上f（x）≥a

已知向量a=（2cosωx，-1），b=（3sinωx+cosωx，1）（ω＞0），函数f（x）=a•b的最小正周期为π．（I）求函数f（x）的表达式及最大值；（Ⅱ）若在x∈[0，π2]上f（x）≥a

题目简介

已知向量a=（2cosωx，-1），b=（3sinωx+cosωx，1）（ω＞0），函数f（x）=a•b的最小正周期为π．（I）求函数f（x）的表达式及最大值；（Ⅱ）若在x∈[0，π2]上f（x）≥a

题目详情

已知向量
a
=（2cosωx，-1），
b
=（
3
sinωx+cosωx，1）（ω＞0），函数f（x）=
a
•
b
的最小正周期为π．
（I）求函数f（x）的表达式及最大值；
（Ⅱ）若在x∈[0，
π
2
]上f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：德州二模

答案

（1）f（x）=
a
•
b
=2cosωx（
3
sinωx+cosωx）-1
=
3
sin2ωx+2cos2ωx-1=
3
sin2ωx+cos2ωx
=2sin（2ωx+class="stub"π
6
）
∵f（x）的最小正周期为T=class="stub"2π
2ω
=π，解之得ω=1
∴函数f（x）的表达式为y=2sin（2x+class="stub"π
6
）；
（2）当x∈[0，class="stub"π
2
]时，2x+class="stub"π
6
∈[class="stub"π
6
，class="stub"7π
6
]
∴当x=class="stub"π
6
时，y=2sin（2x+class="stub"π
6
）的最大值为2；
当x=class="stub"π
2
时，y=2sin（2x+class="stub"π
6
）的最小值为-1
因此，若在x∈[0，class="stub"π
2
]上f（x）≥a恒成立，则a≤-1
即实数a的取值范围为（-∞，-1]．

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